Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点P（1，f(1)）处的切线为3x+y-3=0。

1）求函数f(x)的单调区间。
2）求函数在区间[0,t]（t>0）上的最值。

求具体过程。。谢谢了。。。

Answer 1

将点P分别代入两个方程可得:
f(1)=a+b+1
3+f(1)-3=0 即f(1)=0
于是求得点P为(1,0).
对函数求导f'(x)=3x^2+2ax
因为切线y=-3x+3,所以在点P处f'(x)=3+2a=-3
解得
a=-3
于是可得b=2.
第一问:
f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)
令f'(x)=0,得x1=0,x2=-2a/3=2
这两个是极值点,只需判断x1和x2是极小值或极大值就能判断出单调区间.
f''(x)=6x+2a=6x-6
将x1=0代入上式得
f''(x)=-6<0因此为极大值
因此f(x)在[-无穷 0]为增函数
同理将x2代入上式得
f''(x)=6>0,因此x2为极小值
因此.......(这里比较简单就省略了)
即 增函数 x1 减函数 x2 增函数
第二问:
因为t>0所以只要比较t和x2的关系就可以了.
你题目中没说最大值还是最小值,因此分两种情况讨论:
1、最小值
如果t>2,最小值就为f(2)
如果t<2,最小值就为f(t)
2、最大值
与1相反。

Answer 2

1）f′(X)=3X²＋2aX将1代人，得
f′(1)=3+2a=﹣3∴a=﹣3
f(1)=﹣2+b
y－(﹣2+b)＝﹣3(X－1)∴b=2
f(X)=X³－3x²＋2
f′(X)=3X²－6X=3X(X－2)当X∈[0,2]时f′(X)<0 f(X)单调递减
当X∈(﹣∞,0)∪(2,+∞)时f′(X)＞0 f(X)单调递增
2）当t∈﹙0,2﹚时f（X）max=f(0)=2 f(X)min=f(t)=t³－3t²＋2
当t∈[2,3)时f(X)max=f(0)=2 f(X)min=f(2)=﹣2
当t∈[3,﹢∞﹚时f(X)max=f(t)=t³－3t²＋2 f(X)min=f(2)=﹣2

Answer 3

题目是不是错了 第二小题t在[1，3]才对吧