Question

已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程？

(2)若A.B是轨迹C的动弦，且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程，设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?

Answer 1

(1) 设动圆圆心为(x,y)，则因为动圆与定直线y=-2相切，其半径必为 |y-(-2)|=|y+2|。
所以，动圆的方程（以x‘，y’为自变量）为： (x'-x)^2 + (y'-y)^2 = (y+2)^2
而动圆过定点F(0,2)，即(0,2)始终满足方程，所以： (0-x)^2 + (2-y)^2 = (y+2)^2
化简，得动圆圆心的轨迹C的方程： y= x^2 / 8
是一条抛物线。

(2) A.B是轨迹C的动弦，即A，B的坐标满足轨迹C的方程。设A为(xa,ya)，B为(xb,yb)，
则因QA是轨迹C的切线，其斜率为 xa / 4，同样，QB斜率为 xb / 4 。
而AB过F（0,2），且A，B在轨迹C上，所以，
ya=xa^2/8, yb=xb^2/8, (ya-2)/xa=(yb-2)/xb
以前两式代入第三式，化为： (1/8) (xa xb +16) (xa-xb) = 0。
显然，AB是轨迹C的动弦，xa不可能等于xb，所以，只有 xa xb = -16。
所以，QA与QB的斜率乘积为 (xa / 4) * (xb / 4) = -1，
所以 QA与QB垂直。

（题目打错了吧，是QB或BQ，怎么是BO呢？BO，如果O是原点的话，也没必要过B做切线 了，直接过A的切线和BO垂直就完了）

Answer 2

【1】轨迹C:x²=8y. 【2】参数法，可设点A(4a,2a²),B(4b,2b²).则过A,B两个点的切线方程分别为：ax=y+2a²,bx=y+2b².解这个关于x,y的方程，可得点Q的坐标Q(2a+2b,2ab),又动弦恒过定点F(0,2),由三点共线可得ab=-1.由直线斜率公式，可求得直线AQ和BQ的斜率分别为a,b.结合ab=-1,可知，AQ⊥BQ.