Question

曲线积分(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz

L为x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z=0的交线从z轴正向看去L去逆时针方向谢谢!

Answer 1

用斯托克斯公式
原式=∫∫(S)[(-2dxdy)+(-2dydz)+(-2dzdx)] 根据右手法则被积曲面S法向量朝上
曲面S方程为x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0满足轮换对称性
原式=-∫∫(S)6dxdy=-6∫∫(D)dxdy,(设被积曲面S在平面xOy上的投影为D)
即要求D面积的-6倍(注意S的法向量向上，而D是个椭圆)

考察曲面S的面积，x^2+y^2+z^2=a^2，该球的圆心在(0,0,0)点，平面x+y+z=0过(0,0,0)点，易知交线L是个圆心在(0,0,0)半径为a的圆形，故面积为(πa^2)
同时又有:S的面积=∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(z'(x))^2+(z'(y))^2)dD
由平面方程x+y+z=0易得z'(x)=z'(y)=-1
∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(-1)^2+(-1)^2)dD=(√3)∫∫(D)dD
∫∫(D)dD=((√3)/3)∫∫(S)dS=((√3)/3)*πa^2
原式=-6∫∫(D)dxdy=-(2√3)πa^2

过程很繁，不知道算对没有

追问

我们只会格林公式额斯托克斯何许人也。能不能帮忙用格林公式或对曲线积分算一下，你的答案是对的！O(∩_∩)O~

追答

格林公式只适用于平面曲线，空间曲线的积分格林公式无解
一般空间曲线积分要么斯托克斯公式要么化为参数方程，当然也可以化到一个坐标下，比如全部化为dx 下(这可能就是你说的对曲线积分算一下)，不过那样计算实在太复杂了，由于找不到合适的曲面参数方程所以就选用了第一种方法。

附图：斯托克斯公式

Answer 2

用斯托克斯公式
原式=∫∫(S)[(-2dxdy)+(-2dydz)+(-2dzdx)] 根据右手法则被积曲面S法向量朝上
曲面S方程为x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0满足轮换对称性
原式=-∫∫(S)6dxdy=-6∫∫(D)dxdy,(设被积曲面S在平面xOy上的投影为D)
即要求D面积的-6倍(注意S的法向量向上，而D是个椭圆)