Question

这道常微分方程怎么写？求详细过程，谢谢！

试证方程dy/dx=x^4+y^4的任一解的存在区间都是有界的

Answer 1

证明：为方便后续的证明，我们先计算一个不定积分

∫dx/(a^4+x^4)=∫dx/(x^2+√2ax+a^2)(x^2-√2ax+a^2)
=∫[(Ax+B)/(x^2+√2ax+a^2)+(Cx+D)/(x^2-√2ax+a^2)]dx
根据待定系数法，求得A=1/(2√2a^3)，B=1/(2a^2)，C=-1/(2√2a^3)，D=1/(2a^2)
原式=∫{[x/(2√2a^3)+1/(2a^2)]/(x^2+√2ax+a^2)+[-x/(2√2a^3)+1/(2a^2)]/(x^2-√2ax+a^2)}dx
=(√2/4a^3)*∫[(x+√2a)/(x^2+√2ax+a^2)+(-x+√2a)/(x^2-√2ax+a^2)]dx
=(√2/8a^3)*[∫(2x+√2a)/(x^2+√2ax+a^2)dx+∫√2a/(x^2+√2ax+a^2)dx-∫(2x-√2a)/(x^2-√2ax+a^2)dx+∫√2a/(x^2-√2ax+a^2)dx]
=(√2/8a^3)*{ln|x^2+√2ax+a^2|+∫√2a/[(x+√2a/2)^2+a^2/2]dx-ln|x^2-√2ax+a^2|+∫√2a/[(x-√2a/2)^2+a^2/2]dx}
=(√2/8a^3)*[ln|x^2+√2ax+a^2|-ln|x^2-√2ax+a^2|+2arctan(√2x/a+1)+2arctan(√2x/a-1)]+C
=(√2/8a^3)*[ln|(x^2+√2ax+a^2)/(x^2-√2ax+a^2)|+2arctan(√2x/a+1)+2arctan(√2x/a-1)]+C
接下来开始证明过程
因为方程右端函数f(x,y)=x^4+y^4在整个xoy平面的连续，且对y有连续的偏导数
所以根据解的存在唯一性定理，原微分方程在平面上任意一点(x0,y0)处都存在唯一的解y=g(x)
设[x0,b)是y=g(x)的右侧最大存在区间

若b<=0，[x0,b)显然是一个有限的区间
若b>0，则存在x1>0，使得[x1,b)⊆[x0,b)
因此(x0,y0)处的解y=g(x)在区间[x1,b)内仍然满足原微分方程
即g'(x)=x^4+g(x)^4，（0<x1<=x<b)
g'(x)>=x1^4+g(x)^4，(x1<=x<b)
g'(x)/[x1^4+g(x)^4]>=1
不等式两边分别从x1到x做定积分

∫(x1,x) g'(x)/[x1^4+g(x)^4]dx>=∫(x1,x) dx
∫(x1,x) d[g(x)]/[x1^4+g(x)^4]>=x-x1

由一开始已证明的不定积分，得：

(√2/8x1^3)*{ln|[g(x)^2+√2x1g(x)+x1^2]/[g(x)^2-√2x1g(x)+x1^2]|+2arctan(√2g(x)/x1+1)+2arctan(√2g(x)/x1-1)]|(x1,x)>=x-x1
(√2/8x1^3)*[ln|[g(x)^2+√2x1g(x)+x1^2]/[g(x)^2-√2x1g(x)+x1^2]|-ln|[g(x1)^2+√2x1g(x1)+x1^2]/[g(x1)^2-√2x1g(x1)+x1^2]|+2arctan(√2g(x)/x1+1)+2arctan(√2g(x)/x1-1)-2arctan(√2g(x1)/x1+1)-2arctan(√2g(x1)/x1-1)]>=x-x1
因为3-2√2<=(p^2+√2pq+q^2)/(p^2-√2pq+q^2)<=3+2√2
且-π/2<=arctanα<=π/2
所以0<=x-x1<=(√2/8x1^3)*[ln(3+2√2)-ln(3-2√2)+4π]=(√2/8x1^3)*[ln(17+12√2)+4π]
即x1<=x<=x1+(√2/8x1^3)*[ln(17+12√2)+4π]，(x1<=x<b)
由此可推出，b是一个有限数，即[x0,b)是一个有限区间
同理可证，解y=g(x)的左侧最大存在区间(a,x0]也是一个有限区间
因此，解y=g(x)的最大存在区间(a,b)是有界的，并且与初值(x0,y0)有关