Question

运用泰勒公式证明不等式

Answer 1

证明：将f(x)在
1/2
处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0)
+f’(x0)
(-x0)+
(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
ξ2∈(0,
x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)=
(f’’(ξ2)/2!)(
x0)2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+
(1-x0)2<=1，因此
ⅰf’(x)ⅰ=ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2ⅰ<=
ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2ⅰ
+ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
ⅰ
f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,
所以
ⅰf’’(ξ2)ⅰ<=maxⅰf’’(x)ⅰ
ⅰ(f’’(ξ1)ⅰ<=maxⅰf’’(x)ⅰ
ⅰf’(x)ⅰ=ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2ⅰ<=
ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2ⅰ
+ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
ⅰ<=
1/2
*
maxⅰf’’(x)ⅰ(
x0)^2+1/2
*
maxⅰf’’(x)ⅰ(1-x0)^2=(1
/
2)maxⅰf’’(x)ⅰ[x0^2+
(1-x0)^2]
<=(1
/
2)maxⅰf’’(x)ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x)
在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max
ⅰf’(x)ⅰ
<=
(1
/
2)maxⅰf’’(x)ⅰ
这次能看懂了吧~~~~~~~~估计看不懂是不等式吧~~~~~~~~

Answer 2

此处给出一个当[a,b]为[0,1]时的证明过程，很容易将其修改为[a,b]区间的证明，[a,b]的证明在此处输入很不方便。
证明：将f(x)在
1/2
处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0)
+f’(x0)
(-x0)+
(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
ξ2∈(0,
x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)=
(f’’(ξ2)/2!)(
x0)2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+
(1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<=
Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2Ⅰ
+Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
Ⅰ
f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,
所以
Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2
-(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<=
Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)(
x0)^2Ⅰ
+Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2
Ⅰ<=
1/2
*
maxⅠf’’(x)Ⅰ(
x0)^2+1/2
*
maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1
/
2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+
(1-x0)^2]
<=(1
/
2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x)
在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max
Ⅰf’(x)Ⅰ
<=
(1
/
2)maxⅠf’’(x)Ⅰ