Question

高分悬赏概率问题 越详细分越高

例 设一电路装有三种不同的电器元件，其中工作状态互相独立且无故障工作时间均服从参数 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布。这道题改一下把服从指数分布改为服从几何分布 再计算 还有一道是 泊松分布时间间隔服从指数分布 怎么改才能让它服从几何 分布。原则就一个 比较指数分布和几何分布

Answer 1

设X1,X2,X3分别表示三种不同电器元件无故障工作时间，X1,X2,X3是相互独立的并服从相同的指数分布，不妨设X1,X2,X3都服从数学期望为a的指数分布。由题意电路正常工作的时间T为：
T=min{T1,X2,X3}
则T的分布函数为：
F(t)=P(T<=t)=P(min{X1,X2,X3}<=t)=1-P (min{X1,X2,X3}>t)
=1-P(X1>t,X2>t,X3>t)=1-P(X1>t)*P(X2>t)*P(X3>t)
由于：当t<=0时，P(X1>t)=P(X2>t)=P(X3>t)=1，此时F(t)=0
当t>0时，P(X1>t)=P(X2>t)=P(X3>t)=exp(-t/a)，此时F(t)=1-exp(-3t/a)
即：T服从期望为a/3的指数分布。

若X1,X2,X3服从参数为p的几何分布，其分布律为
P(X1=k)=p(1-p)^(k-1), k=1,2,…
其中0<p<1。不难求得
P(X1>=k)=P(X1=k)+P(X1=k+1)+…
= p(1-p)^(k-1)+ p(1-p)^k+ p(1-p)^(k+1)+…
=(1-p)^(k-1)
则
P(T>=k)=P(min(X1,X2,X3)>=k)=P(X1>=k,X2>=k,X3>=k)
= P(X1>=k)*P(X2>=k)*P(X3>=k)
=[(1-p)^(k-1)]^3=[(1-p)^3]^(k-1)=(1-b)^(k-1), k=1,2,…
其中b=1-(1-p)^3，进而得：
P(T=k)=P(T>=k)-P(T>=k+1)=(1-b)^(k-1)-(1-b)^k
=b(1-b)^(k-1), k=1,2,…
故T仍然服从几何分布，其参数为1-(1-p)^3。

设一个计数过程{N(t),t>=0}是参数为b 的Poisson过程，则
P(N(t+s)-N(s)=n)=(bt)^n*exp(-bt)/(n!), n=0,1,…
记T1为第一个事件来到的时刻。以Tn （n=2,3,…）表示第(n-1)个事件到第n个事件之间的时间。“事件{T1>t}发生”当且仅当“事件{N(t)=0}发生”，即
P(T1>t)=P(N(t)=0)=exp(-bt)
因此，T1具有均值为1/b的指数分布。不难得
P(T2>t|T1=s)=P(在(s,s+t]内没有事件|T1=s)
=P(在(s,s+t]内没有事件)=exp(-bt)
上面第2个等式和第3个等式成立分别是因为Poisson过程的“独立增量”和“平稳增量”性质，由此可知，T2也是一个具有均值为1/b的指数分布。类似可得：T1,T2,…为独立同分布的均值为1/b的指数随机变量。

将Poisson过程改为Bernoulli过程，相应地，将“第(n-1)个事件到第n个事件之间的时间”改为“第(n-1)次事件发生后到第n次事件发生时的Bernoulli试验次数”，则对应的随机变量服从几何分布。

注：上述的s,t均大于0.

Answer 2

概率部分肯定一道大题，如果单纯考期望一类，一般是难度倒数第一或第二，很简单，不过有时和数列掺和在一起，这样的话难度就上去了，可以作为倒数第二道题或者最后一题出现了

Answer 3

这是很基础的概率问题，查一下高的数学概率部分就可以啦，，我现在没时间，有时间在告诉你

Answer 4

考研时经常做这种题，孩子看看书上例题吧

ps 如果学过概率，任何一本概率书上都能找到答案，正像楼上说的，这是很基础的问题。