Question

二项分布和正态分布的期望与方差

EX=np DX=npq 这是书上给出的公式 但是没有证明过程 谁能给讲一下 公式怎么来的？？

Answer 1

我介绍一个较繁但易懂的方法。
先证kC(n,k)*p^k*q^(n-k)=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]
过程如下：kC(n,k)*p^k*q^(n-k)
=k*(n!/[(n-k)!k!])*p^k*q^(n-k)
=np*[(n-1)!/((n-k)!(k-1)!]*p^(k-1)*q^(n-k)
=np*[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]
现在用定义证明EX=np
p+q=1
EX=0*C(n,0)p^0q^n+1*C(n,1)p^1q^(n-1)+2*C(n,2)p^2q^(n-2)+…
+kC(n,k)*p^k*q^(n-k)+…+nC(n,n)p^nq^0
[注：第一项为0]
=np{C(n-1,0)p^0q^(n-1)+C(n-1,1)pq^(n-2)+…
+[C(n-1,k-1)*p^(k-1)q^(n-k)]+…+C(n-1,n-1)p^(n-1)q^0}
=np*(p+q)^(n-1)=np