Question

第二中值定理能用积分第一中值定理证明么？

第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b) f(x)g(x)dx
= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx

积分第一中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点ξ，使
∫(a,b) f(x)dx = f(ξ)(b - a)

我大致这样尝试证明（没有纠细节）：设f(x)dx=G(x)
由第一中值定理得 在[a,b]中存在e 使
∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)
而要证的部分（第二中值定理等式右边) 要证ξ存在
因为g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(ξ)g(a)-G(ξ)g(b)
故 因为存在e使∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)成立
只要ξ=e 即有第二中值定理等式成立 故ξ存在 得证

请各路大神指教啊 跪谢大家乐

Answer 1

只想说一点，在积分第一中值定理中，要求被积函数是连续的。你注意到这个了吗？

追问

谢谢，我确实没有纠细节，主要就是请教，如果加强一下，是否这样就可以证到了

追答

设f(x)dx=G(x)，这个是你的笔误吗？如果不是，那么这是不对的。∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)，这个你是怎么得到的，我没看出来。ξ=e，这个的证明是不行的。因为只知道这两个量是[a,b]中的某点，要证明他们相等，在我看来是不可能的。很佩服你对问题有自己独特的看法，但不得不遗憾地告诉你，你的这个方法行不通，至少在我看来是这样的，但愿我错了。积分第二中值定理的证明是比较复杂的，当时我们是不要求掌握的

追问

谢谢你的提醒，确实是我的笔误，我是想设G(x)为f(x)的原函数。
∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)就是分部积分算出的
我觉得因为存在这么一个e 只要ξ=e 等号就成立 而且ξ、e都是在（a,b）中
所以我还是觉得可以证明到的 谢谢指教 谢谢

Answer 2

第二中值定理的条件更强一点！！！