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Answer 1

1.(1)
x^2+y^2-2x-4y+m=0
化简方程得
(x
-1)^2
+(y-2)^2
=5-m
5-m>0
m<5
(2)
可以看出圆心是C:(1,2)
那么OC
必然垂直平分
MN
OC方程是y=2x
<MON=90
<MOC=<NOC
=45
设OM斜率是k
则
tg<MOC
=|k-2|/|1
+2k|
=1
k=-3
或者
k=1/3
这样OM,ON
的方程分别是
y=-3x
y=x/3
且M,N
在x+2y-4=0上
则M,N
的坐标是
(-4/5
,12/5)
(12/5,4/5)
把这两个坐标代入方程
X^2+Y^2-2X-4Y+M=0
可求M
2.
已知圆满足①截Y轴所得弦长为2
②被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3
：1
③圆心到直线L：X-2Y=0的距离为√5/5，求圆的方程
解：设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R²........(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5，故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1..................(2)
或a-2b=1.................(3)
设圆与Y轴的交点为（0，y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式，得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”，即｜y1-y2｜=2.按韦达定理，有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1...........(4)
又“被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3
：1”，设劣弧S1所对的圆心
角为θ1，优弧S2所对的圆心角为θ2，则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1，故θ1=90˚，θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A，B两点，则△AMB是等腰直角三角形，因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0...................(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2