Question

定积分换元法有多少种

Answer 1

定积分的换元法大致有两类，第一类是凑微分，例如xdx=1/2dx²，积分变量仍然是x，只是把x²看着一个整体，积分限不变
你说的是第二类，令x=x(t)，自然有dx=dx(t)=x'(t)dt,这里引入新的变量，积分限要由x的变换范围换成t的变化范围

Answer 2

将x换为tanθ,y=(cosθ)^2
dx=dtanθ=d(sinθ/cosθ)=1/（cosθ）^2dθ
应该得
∫0～1
(cosθ)^2dtanθ
=∫（0～π/4）
(cosθ)^2*1/（cosθ）^2dθ=∫（0～π/4）dθ=π/2
x换了，dx也要相应变化。然后要注意积分限，如这道题dtanθ时积分限还是0～1，dθ时才是0～π/4