Question

牛吃什么草

Answer 1

我们熟知的牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
　　(1)
设定一头牛一天吃草量为“1”

草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

　　(2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

　　(3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

　　(4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

　　这四个公式是解决消长问题的基础。

　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

牛顿的名著《一般算术》中，编有一道很有名的题目，即牛吃草的题目:

“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？”

解答这道题时，我们假定牧草上的草各处都一样密，草长得一样快，并且每头牛每星期的吃草量也相同。在牧场上放牛，牛不仅要吃掉牧场上原有的草，还要吃掉牧场上新长出的草。因此解答这道题的关键是要知道牧场上原有的牧草量和每星期草的生长量。

　　设每头牛每星期的吃草量为1。

27头牛6个星期的吃草量为27×6=162，这既包括牧场上原有的草，也包括6个星期长的草。

23头牛
9个星期的吃草量为23×9=
207，这既包括牧场上原有的草，也包括9个星期长的草。

因为牧场上原有的草量一定，所以上面两式的差207-162=45正好是9个星期生长的草量与6个星期生长的草量的差。由此可以求出每星期草的生长量是45÷（9-6）=15。

牧场上原有的草量是162-15×6=72，或207-15×9=
72。

前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21-5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。

也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。