Question

二阶微分方程通解公式，就是有特征方程的那个

Answer 1

通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解
n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关
通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=c1y1(x)+c2y2(x)是通解的话，y=c1y1(x)+c2y2(x)+y1也是通解，但y=c1y1就是特解
就你所抄的那句话来看是错的，不是二阶线性方程，而是二阶线性齐次方程；在这样的条件下成立的原因是，[y1(x)+y2(x)]'=y1(x)'+y2(x)'，c1y1(x)与c2y2(x)分别满足方程，则自然c1y1(x)+c2y2(x)也满足方程
否则如果非齐次方程的话，应该可以从c1y1(x)与c2y2(x)均为方程的解推出y1(x)=ky2(x)

Answer 2

举一个简单的例子：
y''+3y'+2y
=
1
(1)
其对应的齐次方程的特征方程为：
s^2+3s+2=0
(2)
因式分解：
(s+1)(s+2)=0
(3)
两个根为：
s1=-1
s2=-2
(4)
齐次方程的通解：
y1=ae^(-x)+be^(-2x)
(5)
非奇方程(1)的特解：
y*
=
1/2
(6)
于是（1）的通解为：
y=y1+y*
=
1/2
+
ae^(-x)
+be^(-2x)
(7)
其中：a、b由初始条件确定。