1^2+2^2+3^2+......+(n-2)^2=?求详解

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机安琪缑作
2019-06-07 · TA获得超过3万个赞
知道大有可为答主
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利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
可以得到(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加,
得(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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周韵诗堵烟
2020-03-11 · TA获得超过3万个赞
知道小有建树答主
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答:通常自然数的平方和都是直接记住公式的,我刚在网上查了一下,详细推导过程,很多,仅拿出一个,做参考。
立方差公式推导
n^3-(n-1)^3=n^2+n(n-1)+(n-1)^2=3n^2-3n+1
所以
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
......
   (n-3)^3-(n-4)^3=3*(n-3)^2-3*(n-3)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3*(n-2)^2-3*(n-2)+1
将上面各式相加,得
(n-2)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2)-3(1+2+3+...+(n-3)+(n-2))+n
(n-2)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2)
-3(n-2)(n-1)/2+n
所以
1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2
  =((n-2)^3+3(n-2)(n-1)/2-n)/3
=(n-2)(n-1)(2n-3)/6
完毕,请批评指正。
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