Question

1^2+2^2+3^2+......+(n-2)^2=?求详解

Answer 1

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
可以得到(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加，
得(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

答：通常自然数的平方和都是直接记住公式的，我刚在网上查了一下，详细推导过程，很多，仅拿出一个，做参考。
立方差公式推导
n^3-(n-1)^3=n^2+n(n-1)+(n-1)^2=3n^2-3n+1
所以
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
......
　　　(n-3)^3-(n-4)^3=3*(n-3)^2-3*(n-3)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3*(n-2)^2-3*(n-2)+1
将上面各式相加，得
(n-2)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2)-3(1+2+3+...+(n-3)+(n-2))+n
(n-2)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2)
-3(n-2)(n-1)/2+n
所以
1^2+2^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-2)^2
　　=((n-2)^3+3(n-2)(n-1)/2-n)/3
=（n-2)(n-1)(2n-3)/6
完毕，请批评指正。