在θ∈(0,2π)内能否确定θ的取值范围使得sin^3θ-cos^3>cosθ-sinθ
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解：设角 θ 与单位圆 x^2 +y^2 =1 的交点为 (x,y), 则
x =cos θ,
y =sin θ.
要使 (sin θ)^3 -(cos θ)^3 >cos θ -sin θ,
只需 y^3 -x^3 >x -y,
即 0 >(x^3 -y^3) +(x -y)
=(x -y) (x^2 +y^2 +xy +1)
=(x -y) (2 +xy).
又因为 xy ≥-1,
所以 2 +xy ≥1.
所以 x -y <0,
即 y >x
又因为 θ∈(0 ,2π),
由图象知, θ∈(π/4, 3π/4).
= = = = = = = = =
换元法。
要比较 cos θ 和sin θ 的大小，可作直线 y =x.
当 y>x 时, 阴影部分在直线 y=x 上方，θ∈(π/4, 3π/4).
当 y<x 时, 阴影部分在直线 y=x 下方, θ∈(0, π/4) U(3π/4 ,π).
x =cos θ,
y =sin θ.
要使 (sin θ)^3 -(cos θ)^3 >cos θ -sin θ,
只需 y^3 -x^3 >x -y,
即 0 >(x^3 -y^3) +(x -y)
=(x -y) (x^2 +y^2 +xy +1)
=(x -y) (2 +xy).
又因为 xy ≥-1,
所以 2 +xy ≥1.
所以 x -y <0,
即 y >x
又因为 θ∈(0 ,2π),
由图象知, θ∈(π/4, 3π/4).
= = = = = = = = =
换元法。
要比较 cos θ 和sin θ 的大小，可作直线 y =x.
当 y>x 时, 阴影部分在直线 y=x 上方，θ∈(π/4, 3π/4).
当 y<x 时, 阴影部分在直线 y=x 下方, θ∈(0, π/4) U(3π/4 ,π).
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追问
答案是π/4<θ<5π/4
追答
不好意思，做错了。把 3π/4 都 改成 5π/4.
我看走眼了。
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