Question

那些情况行列式不等于零

Answer 1

这句话是不对的，你可能是从书上的某一段证明过程中直接抽取了这样一句出来。
关于x_i的n阶vandermonde行列式的值是所有(x_i-x_j)的乘积(i>j)，当且仅当所有的x_i互不相同的时候vandermonde行列式的值非零。
在某些问题当中上述条件是满足的，所以你可能会看到诸如“这是一个vandermonde矩阵，因而非奇异”这样的话，但是这确实是有条件的。

Answer 2

|A|≠0的充分必要条件
<=>
A可逆
(又非奇异)
<=>
存在同阶方阵B满足
AB
=
E
(或
BA=E)
<=>
R(A)=n
<=>
R(A*)=n
<=>
|A*|≠0
<=>
A的列(行)向量组线性无关
<=>
AX=0
仅有零解
<=>
AX=b
有唯一解
<=>
任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
<=>
A可表示成初等矩阵的乘积
<=>
A的等价标准形是单位矩阵
<=>
A的行最简形是单位矩阵
<=>
A的特征值都不等于0.
<=>
A^TA是正定矩阵.