Question

证明当x>0时，ln(x+根号下1+x^2)>x/根号下1+x^2

Answer 1

证明当x>0时，xln(x+√1+x^2)+1>√(1+x^2).
【证明】
设f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√（1+x^2）,x＞0，
则f'(x)=ln[x+√（1+x^2)]
+x[1+x/√（1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]
-x/√（1+x^2)
=ln[x+√（1+x^2)]>0,
∴f(x)在定义域上递增，∴f(x)>f(0)=0,
∴1+xln[x+√(1+x^2)]>√（1+x^2）.

Answer 2

设f(x)=ln[x+√(1+x^2)]
-
x/√(1+x^2)
x>0
f(x)'=x^2/√(1+x^2)
在x>0时，f(x)'恒大于零，故f(x)为增函数
有
f(x)>f(0)=0
即
ln[x+√(1+x^2)]
>
x/√(1+x^2)
步骤就是这样