Question

已知当x趋向0时,积分符号上限是x,下限是 -x （sint+sint^2）dt...

已知当x趋向0时,积分符号上限是x,下限是 -x （sint+sint^2）dt与ax^k 是等价无穷小,求a 和k 的至 答案是A位2/3 K为3

Answer 1

设(sint+sint^2)的原函数是F(t)那么F‘(t)=sint+sint^2所以∫(-x到x)(sint+sint^2)dt=F(x)-F(-x)对它求导为F’(x)-F‘(-x)*(-1)=F’(x)+F‘(-x)=sinx+sinx^2+sin(-x)+sinx^2=2sinx^2原式两个函数为等价无穷小,所以在x趋向于0的极限比值为1使用洛必达法则计算极限lim(x趋向0)[∫(-x到x)(sint+sint^2)dt/(ax^k)](分子求导上面已给出)=lim(x趋向0)[(2sinx^2)/(akx^(k-1))](继续使用洛必达法则)=lim(x趋向0)[(4xcosx^2)/(ak(k-1)x^(k-2))](x除到下面)=lim(x趋向0)[(4cosx^2)/(ak(k-1)x^(k-3))]=1要为1,x的次方系数必须为0,所以k=3另外cos0=1,所以4/(ak(k-1)=1解得到a=2/3所以a=2/3
k=3