Question

求解方程t^2x''(t)-3tx'(t)-8x(t)=tlnt

令t=e^u，参考欧拉方程的解法求解，请给出详细过程，谢谢！

Answer 1

设u=lnt,则
x'(t)=x'(u)/t,
x''(t)=x''(u)/t^2-x'(u)/t^2,
原方程变为x''(u)-4x'(u)-8x=ue^u,①
x''(u)-4x'(u)-8x=0的通解是x=c1e^[(2+2√3)u]+c2e^[(2-2√3)u],
设x=(au+b)e^u是①的特解，则
x'(u)=(au+a+b)e^u,
x''(u)=(au+2a+b)e^u,
都代入①，两边都除以e^u,得au+2a+b-4(au+a+b)-8(au+b)=u,
整理得-13au-2a-13b=u,
比较系数得 -13a=1,-2a-13b=0,
解得a=-1/13,b=2/169,
所以x=c1e^[(2+2√3)u]+c2e^[(2-2√3)u]+(2/169-u/13)e^u是①的通解，
即x=c1t^(2+2√3)+c2t^(2-2√3)+t(2/169-lnt/13)是原方程的通解。