Question

请问这道线性代数题目选什么？谢谢~

Answer 1

四个矩阵都是上三角矩阵，所以很容易求解矩阵的特征值。
A选项的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，互异特征值的数目与方阵的阶数相同，故A选项的矩阵与对角矩阵diag[1，2，3]相似。
B、C、D选项的特征值为λ1=1（二重），λ2=2（一重）。
判定矩阵能否相似于对角阵时，一个简便的方法是：如果多重特征值对应的齐次线性方程组(λiE-A)X=O的基础解系所含向量个数小于特征值的重数，则立即可断定该矩阵不能相似于对角阵。而仅需求出向量的个数，只要看系数矩阵λiE-A的秩就可以了。
因此考虑λ1=1对应的系数矩阵λ1E-A的秩。B选项为2，故有3-2=1个自由未知量，基础解系包含1个向量，所以B选项的矩阵不能相似于对角阵；C选项、D选项为1，故有3-1=2个自由未知量，基础解系包含2个向量，所以C选项、D选项的矩阵都能相似于对角阵。
故应该选B。