Question

用langrange中值定理证明等式arctanx+arctan1/x=π/2

Answer 1

证明过程如下：
设f(x)=arctanx+arctan1/x
当x=1时，f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/2
当x=a，a>0且≠1
f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+(1/x)^2))*(-1/(x^2))=0
对任意a>0，f(x)在[a,1](或[1,a])上连续，在(a,1)(或(1,a))上可导
根据中值定理：
存在u，满足u在a与1之间，使得：
f'(u)=(f(a)-f(1))/(a-1)=0->f(a)=f(1)=π/2
即对任意a>0，满足f(a)=π/2
因此，f(x)=arctan(x)+arctan(x)=π/2
扩展资料：
langrange中值定理的应用
1、拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
2、表示函数增量Δy的准备表达，函数的微分dy=f'(x)Δx是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式。
3、推论出如果函数在某个区间上可导，那么导函数在该区间上不存在第一类间断点。换句话说，如果一个函数在某个区间上存在第一类间断点，那么它在该区间上没有原函数。
4、对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

Answer 2

设f(x)=arctanx+arctan1/x
闭区间连续开区间可导，存在ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=[f(b)–f(a）]/b-a,因为f’(ξ）恒等于0，所以函数是一常数，取x=1得π/2

Answer 3

假设f（x）=arctanx+arctan(1/x)两边求导得易得
f'（x）=（arctanx）'+(arctan(1/x))'=0
可知原函数是个常数设f（x）=c
令x=∞带入可得c=pi/2