Question

讨论函数f(x)=x+a/x,(a>0,x>0)单调性？

Answer 1

解法一（导数）：
f(x)=x+a/x （a>0,x>0）
∴f'(x)=1-a/x^2
∴x=√a时，f'(x)=0
当x<√a时，f'(x)<0；当x>√a时，f'(x)>0
∴当0<x<√a时，f(x)单调递减；当x>√a时，f(x)单调递增
解法二：设0<x1<x2
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+a(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+a(x1-x2)/x2x1
=(x2-x1)(1-a/x2x1)
∵x2-x1>0
∴a/x2x1<1时，f(x2)>f(x1)
a/x2x1<1，即x2x1>a，∴x1>√a
∴x>√a时，f(x)单调递增
同理可得，当0<x<√a时，f(x)单调递减

Answer 2

f(x)在(0,sqrt(a))上是减函数，
在(sqrt(a),+∞)上是增函数。
可用单调函数定义或导数证明

追问

能写的具体点不，用函数单调性定义做，那个范围咋求的呢？我对求那个范围很模糊

Answer 3

求导f’（x）=1-a/x^2;
令f’（x）=1-a/x^2>0,即(x+√a)(x-√a)>0, (a>0,x>0) 解得x>√a,即x>√a时递增;
0<x<√a时递减。