试证：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零，这题该怎么解？
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首先, 由A是正定矩阵, 则A与单位矩阵合同, 故其行列式>0.
其次, 设 f(x1,...,xn) = X'AX= 和号(i从1到n)和号(j从1到n) aijxixj.
构造二次型 f(x1,...,xk) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijxixj
则对任意不全为0的数 c1,...,ck
f(c1,...,ck) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijcicj = f(c1,...,ck,0,...,0) >0.
所以 f(x1,...,xk) 是正定的, 其矩阵也是正定的, 由前结论, 其矩阵的行列式>0.
而 f(x1,...,xk) 的矩阵就是A的第k个顺序主子式.
故 A的顺序主子式全大于零.
最后, 对A的任一主子式A1, 可经过对换行与列, 调到A的左上角, 得矩阵B
B与A合同, 故B也正定. A的主子式就是B的顺序主子式, 故也大于0.
事实上,A是正定矩阵的充分必要条件是A的主子式全大于零.
这是书上定理吧, 北大高代里就有,
其次, 设 f(x1,...,xn) = X'AX= 和号(i从1到n)和号(j从1到n) aijxixj.
构造二次型 f(x1,...,xk) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijxixj
则对任意不全为0的数 c1,...,ck
f(c1,...,ck) = 和号(i从1到k)和号(j从1到k) aijcicj = f(c1,...,ck,0,...,0) >0.
所以 f(x1,...,xk) 是正定的, 其矩阵也是正定的, 由前结论, 其矩阵的行列式>0.
而 f(x1,...,xk) 的矩阵就是A的第k个顺序主子式.
故 A的顺序主子式全大于零.
最后, 对A的任一主子式A1, 可经过对换行与列, 调到A的左上角, 得矩阵B
B与A合同, 故B也正定. A的主子式就是B的顺序主子式, 故也大于0.
事实上,A是正定矩阵的充分必要条件是A的主子式全大于零.
这是书上定理吧, 北大高代里就有,
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