Question

利用定积分的几何意义证明:

Answer 1

解：定积分的几何意义是函数y=f(x)
的曲线，与其定义域的区间[a,b]，即a≤x≤b所围成平面图形的面积。
本题中，f(x)=cosx，a=0，b=2π。
考察y=cosx在[0,2π]
的变化，利用y=cosx的对称性，可知y=cosx与x=0、x=2π所围成的平面图形的面积值为0，
故，∫(0,2π)cosxdx=0。
供参考。

Answer 2

y=√[1-(x-1)²]
可以转化为
(x-1)²+y²=1
(y≥0)
这是一个以(1，0)为圆心，
半径为1的上半圆。
根据定积分的几何意义，
左边的定积分是这个上半圆的面积，
右边的定积分是这个上半圆的左半部分的面积，
显然，半圆面积等于1/4圆面积的2倍，
所以，积分等式成立。