Question

设f（x)在【0,1】上可导，且f（0）=0，f（1）=1，求证存在a，b，使1/f(a)的一阶导+1/f(b)一阶导=2

Answer 1

不妨设f'(a)
>
0,
由f'(x)可导故连续,
f’(x)在a的一个邻域内
>
0.
f(x)在a的一个邻域内严格增,
在其中有f(x)
>
f(a)
=
0.
同理,
在b的一个邻域内有f(x)
<
f(b)
=
0.
而f(x)连续,
由介值定理,
存在r∈(a,b),
使f(r)
=
0.
考虑g(x)
=
f(x)·e^(-x).
由g(x)在[a,r]连续,
在(a,r)可导,
g(a)
=
g(r)
=
0.
由罗尔定理,
存在s∈(a,r),
使g'(s)
=
0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s)
=
0,
即有f'(s)-f(s)
=
0.
同理,
存在t∈(r,b),
使f'(t)-f(t)
=
0.
考虑h(x)
=
(f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续,
在(s,t)可导,
h(s)
=
h(t)
=
0.
由罗尔定理,
存在c∈(s,t),
使h'(c)
=
0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c
=
0,
故f"(c)
=
f(c).
方法不一定是最好的,
不过应该还可以接受吧.

Answer 2

题目应该是对
不同的两点
a,b
给个证明思路，如果不清楚，欢迎继续问。
1.
存在
02.
如果f(x)=x
不恒成立，则存在
x1,
x2,
使得
f'(x1)<1,
f'(x2)>1
2.0
如果
1/f'(x1)+1/f'(x2)=2
则结论成立。
2.1
如果
f'(x1)<=0
或
1/f'(x1)+1/f'(x2)>2,
则在
x1,
c
之间存在
x3
使得
1/f'(x3)+1/f'(x2)=2
2.2
如果
f'(x1)>=0
且
1/f'(x1)+1/f'(x2)<
2,
则在
x2,
c
之间存在
x3
使得
1/f'(x3)+1/f'(x1)=2