Question

用向量证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中心点的距离的两倍

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b
因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

Answer 3

让我来。
设
am
是三角形
abc
的中线
，g
在
am
上，且
ag=2gm
，
则
m
为
bc
的中点，g
为三角形
abc
的重心
，
因此
ga+gb+gc=ga+2gm=ga+ag=0
。
上面的证明用到两个结论：一是重心到顶点的距离等于到对边中点距离的
2
倍，二是中点的向量表达式：m
为
bc
的中点，则
gm=1/2*(gb+gc)
。