Question

如何证明根号2是无理数

Answer 1

可以用反正法：
假设√2不是无理数，那它是有理数，
所以它可以表示成√2=p/q，其中p和q互质的正整数，
所以2=p^2/q^2，所以p^2=2*q^2，
所以2能整除p^2，所以p^2是偶数，所以p是偶数，设p=2r，r是整数
所以p^2=4*r^2=2*q^2，所以2*r^2=q^2，
所以2能整除q^2，所以q^2是偶数，所以q是偶数，
p、q都是偶数，与p和q互质矛盾，
所以假设错误，所以√2是无理数。

Answer 2

最简单的证明方法：
设sqrt(2) = m/n
m,n是整数，并且约分到(m,n)=1
那么2 = m^2 / n^2
所以m是偶数，设m = 2u
那么2 = 4u^2 / n^2
所以n^2 = 2u^2
所以n也是偶数，这与(m,n)=1矛盾
所以根号2是无理数

Answer 3

设sqrt(2)是有理数=p/q,其中q不等于0
两边平方化简得2q方=p方，
从前式可见无论p是奇数还是偶数，
等式左边因式分解中含有奇数个2，右边含有偶数个2，
两边2的数目不同，所以产生矛盾。
因此sqrt(2)是无理数

Answer 4

从有理数或循环小数可以写成分数入手。

Answer 5

20190821 数学04