Question

复变函数为什么在解析点处的各阶导数也解析，实变函数

Answer 1

这个问题问的好啊！去年我在学复分析的时候也考虑过。我觉得关键在于复变函数的可导与实函数不一样。虽然都是函数值的变化比上自变量的变化的极限，但是一个是实数相除，而另一个是复数相除。而且如果把复变函数看成是r2到r2的映射的话，复变函数可导条件把复函数的实部和虚部联系在了一起（柯西黎曼条件），而如果在实函数可导意义下，仅是实部和虚部分别可导，它们之间推不出任何关系。可见复可导比实可导条件强。至于复函数的导数（对于固定点它是个复数）的几何意义，可以看成是过那一点的某条曲线与经过这个复函数映射下的曲线的单位切向量的夹角与长度的改变

Answer 2

因为复变函数在解析点处满足柯西-黎曼方程（这是一个微分方程组），这是一个很强的条件。对于实变函数y=f(x)而言，如果它在x0的邻域处满足微分方程y=y'，可以证明f(x)在x0的邻域内存在无穷阶导数。