Question

为什么 定义在R上的偶函数有：f(x+1)+f(x)=1,可以得出周期是2

Answer 1

把x+1代替x就变成了f(x+2)+f(x+1)=1又因为f(x+1)是1-f(x)所以带入得，f(x+2)=f(x)，周期是2

Answer 2

1令x，y都等于零
可以得出f(0)=1
当x=0时
f(y)+f(-y)=2f(y)
即f(-y)=f(y)
所以f(x)为偶函数
2令y=1/2
则f(x+1/2)+f(x-1/2)=0
即f(x)=-f(x+1)
所以f(x-1/2)+f(x-3/2）=0
两式子相减
得出f(x+1/2)=f(x-3/2）
即f（x）=f(x+2)
f(x)是以2为周期的周期函数
3令x=1/3,y=1/6
f(1/2)+f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)
即f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)且f(1/6)不等于0
解得2f(1/3)=1/2
在令x=1/6,y=1/6
3/2=f(1/3)+f(0)=2f(1/6)f(1/6)
得f(1/6)=sqrt3/2

Answer 3

1令x，y都等于零
可以得出f(0)=1
当x=0时
f(y)+f(-y)=2f(y)
即f(-y)=f(y)
所以f(x)为偶函数
2令y=1/2
则f(x+1/2)+f(x-1/2)=0
即f(x)=-f(x+1)
所以f(x-1/2)+f(x-3/2）=0
两式子相减
得出f(x+1/2)=f(x-3/2）
即f（x）=f(x+2)
f(x)是以2为周期的周期函数
3令x=1/3,y=1/6
f(1/2)+f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)
即f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)且f(1/6)不等于0
解得2f(1/3)=1/2
在令x=1/6,y=1/6
3/2=f(1/3)+f(0)=2f(1/6)f(1/6)
得f(1/6)=sqrt3/2

Answer 4

1令x，y都等于零
可以得出f(0)=1
当x=0时
f(y)+f(-y)=2f(y)
即f(-y)=f(y)
所以f(x)为偶函数
2令y=1/2
则f(x+1/2)+f(x-1/2)=0
即f(x)=-f(x+1)
所以f(x-1/2)+f(x-3/2）=0
两式子相减
得出f(x+1/2)=f(x-3/2）
即f（x）=f(x+2)
f(x)是以2为周期的周期函数
3令x=1/3,y=1/6
f(1/2)+f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)
即f(1/6)=2f(1/3)f(1/6)且f(1/6)不等于0
解得2f(1/3)=1/2
在令x=1/6,y=1/6
3/2=f(1/3)+f(0)=2f(1/6)f(1/6)
得f(1/6)=sqrt3/2