Question

设x,y和z为向量空间V中的向量,证明:若x+y=x+z,则y=z

Answer 1

 设B（x，y，z），则|AB|=√［（x-2）²+（y+1）²+（z-7）²］=34，（x-2）/8=（y+1）/9=（z-7）/（-12）得x=18，y=17，z=-17。

∴B（18，17，-17）由于已知r3为向量空间，而v是其子集，故对v，只须验证其元素对于向量加法和数乘向量封闭即可。

设v1=（x1，y1，z1）。

v2=（x2，y2，z2）为v的任意两个向量。

即：x1+y1+z1=0。

x2+y2+z2=0。

这就证明了集合v对于加法和数量乘向量这两种运算封闭，因而，v是一向量空间。

方程组：x+y+z=0，的秩为1。

故其解空间的秩为3-1=2。即v的维数为2。

其基中有两个线性无关的向量。

（1，-1，0），（1，0，-1）为其基。

向量空间

又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

Answer 2

由于已知r3为向量空间,而v是其子集,故对v,只须验证其元素对于向量加法和数乘向量封闭即可.
设v1=(x1,y1,z1),
v2=
(x2,y2,z2)
为v的任意两个向量,即:x1+y1+z1=
0,
x2+y2+z2
=
0.
设k为任意实数.则有:kv1
=
(kx1+ky1+kz1),
而kx1+ky1+kz1=k(x1+y1+z1)=k*
0=0;
即kv1仍为v的向量;
v1+v2
=
(x1+x2,
y1+y2,
z1+z2),
而(x1+x2)+(
y1+y2)+
(
z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0;
即v1+v2
仍为v的向量.这就证明了集合v对于加法和数量乘向量这两种运算封闭,因而,v是一向量空间.
由于:方程组:x
+y+z
=0,的秩为1,
故其解空间的秩为3-1=2.即v的维数为2.
其基中有两个线性无关的向量.
可取为:
(1,-1,0),
(1,0,-1).为其基.
(取法不是唯一的.)

Answer 3

x,为向量空间V中的向量，则一定存在向量
-x：x+(-x)=0(向量)
由于
x+y=x+z
左边=
x+y+(-x)=x+(-x)+y
=0+y
=y
右边=x+z=
x+z+(-x)=x+(-x)+z
=0+z
=z
∴
y=z