Question

球坐标下一道三重积分的计算，求带步骤解答

Answer 1

(1/a²)∫∫∫
xe^(x²+y²+z²)
dv
=(1/a²)∫∫∫
rsinφcosθe^(r²)*r²sinφ
drdφdθ
=(1/a²)∫[0→π/2]
cosθ
dθ∫[0→π/2]
sin²φ
dφ∫[0→a]
r³e^(r²)
dr
三个积分可以各积各的，为了书写方便，我这里分开来写，你做题时可一起做
∫[0→π/2]
cosθ
dθ
=sinθ
|[0→π/2]
=1
∫[0→π/2]
sin²φ
dφ
可以用降幂来做，我这里用了一个性质
=(1/2)(
∫[0→π/2]
sin²φ
dφ
+
∫[0→π/2]
cos²φ
dφ
)
=(1/2)∫[0→π/2]
1
dφ
=π/4
∫[0→a]
r³e^(r²)
dr
=(1/2)∫[0→a]
r²e^(r²)
d(r²)
令r²=u，则u：0→a²
=(1/2)∫[0→a²]
ue^u
du
=(1/2)∫[0→a²]
u
de^u
=(1/2)ue^u
-
(1/2)∫[0→a²]
e^u
du
=(1/2)ue^u
-
(1/2)e^u
|[0→a²]
=(1/2)a²e^a²
-
(1/2)e^a²
+
(1/2)
将三个结果代入得本题结果：
(π/8a²)(a²e^a²-e^a²+1)