Question

已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0

（1）若点A（-2,0），B（2,0）点P在圆C上移动，求PA^2+PB^2的取值范围
（2）若点M（-4,0），N（0,3），当P在圆C上移动时，求三角形PMN的面积的最小值和最大值
（3）若实数x，y满足圆C的方程，求（y+1)除以（x-1）的取值范围
（4）若动点P（x,y)在圆C上，不等式3x+4y+m大于等于1恒成立，求m的取值

Answer 1

(1)画出图后可知当PAB构成直角三角形时PA^2+PB^2＝AB^2＝16，这是也刚好达到最大值，所以取值范围为0<=PA^2+PB^2<=16.

追问

最小值可以为0？

追答

哦，我错了，是不可以的！

Answer 2

已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0
（1）若点A（-2,0），B（2,0）点P在圆C上移动，求PA^2+PB^2的取值范围
圆C：(X-1)^2+(Y-1)^2=1，圆心C（1,1）半径=1
设P（x,y），有x^2+y^2-2x-2y+1=0
PA^2+PB^2=(x+2)^2+(y-0)^2+(x-2)^2+(y-0)^2
=2*(x^2+y^2)+8
=4*(x+y)+6
画出图像，由平移x+y=0与圆C相交的情况知道，
当直线与圆C相切时，x+y取极值，（也就是与y轴的交点最高和最低）
所以当P(1-√2/2,1-√2/2)时，PA^2+PB^2最小=14-4√2
P(1+√2/2,1+√2/2)时，PA^2+PB^2最大=14+4√2
所以PA^2+PB^2的取值范围：[14-4√2,14+4√2]

（2）若点M（-4,0），N（0,3），当P在圆C上移动时，求三角形PMN的面积的最小值和最大值
作直线MN的一系列平行线与圆C相交，可以发现两个相切处，三角形PMN边MN上的高取最大、最小值，
直线MN：3x-4y+12=0，MN=√(16+9)=5，
圆C圆心C(1,1)到直线MN距离=(3-4+12)/5=11/5，
两相切时两组平行线间的距离分别为11/5-1=6/5，和11/5+1=16/5
三角形PMN的面积最小=1/2*5*6/5=3，最大=1/2*5*16/5=8

（3）若实数x，y满足圆C的方程，求（y+1)除以（x-1）的取值范围
设k=(y+1)/(x-1)，相当于过定点(1,-1)的直线与圆C相交，两个相切时斜率k取两个极值，是-2，2
所以k=(y+1)/(x-1)的范围（-无穷,-2] U [2,+无穷)

（4）若动点P（x,y)在圆C上，不等式3x+4y+m大于等于1恒成立，求m的取值
3x+4y+m大于等于1恒成立，
直线3x+4y+b=0与圆相切，得到|3+4+b|/5=1，得到b=-2或者-12
即动点P（x,y)在圆C上，则3x+4y最大值为12，最小值为2
所以m+2≥1
得到m≥-1
m的取值范围：[-1,+无穷)

Answer 3

22

追问

什么22？