Question

高中数学。已知a＞0，函数f(x)=ax²-x,g(x)=lnx.(1)若a=1/2，求函数y=f

Answer 1

1）a=1/2,
y=1/2x²-x-2lnx
y'=x-1-2/x=(x²-x-2)/x=(x-2)(x+1)/x
定义域为x>0,
因此有唯一极值点x=2,
它为极小值点
极小值y(2)=2-2-2ln2=-2ln2
2)
记h(x)=f(x)-g(ax)=ax²-x-lnax,
要使h(x)>=0在x>0时恒成立
h'(x)=2ax-1-1/x=(2ax²-x-1)/x
因为a>0,
故2ax²-x-1=0必有一正根一负根，正根t即为h(x)的最小值点
为t=[1+√(1+8a)]/(4a),
2at²-t-1=0
h(t)=at²-t-lnat=t+1-t-lnat=1-lnat>=0,
得：at<=e
即[1+√(1+8a)]/4<=e
得：a<=[(4e-1)²-1]/8
即：0<a<=2e²-e