Question

ln(1+a^3)/(x-arcsinx),x<0,f(x)=6,x=0,(e^ax+x^2-ax-1)/xsinx/4,x>0,a为何值f(x)在x=0连续

Answer 1

f(x)在x=0处连续
只要lim(x→0)f(x)=f(0)即可
∴lim(x→0+)
(e^(ax)+x²-ax-1)/xsin(x/4)=6
lim(x→0-)
ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=6
①当x＞0时sin(x/4)~x/4(等价无穷小)分母xsin(x/4)可代换为x^2/4
分子e^(ax)由泰勒展开得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
即x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2)
分子分母同时÷x²得：lim(x→0+)
(e^(ax)+x²-ax-1)/xsin(x/4)=2a²+4
∴2a²+4=6解得：a=1或a=-1
②当x＜0时ln(1+ax^3)~ax^3
即lim
ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=lim
ax³/(x-arcsinx)由洛必达法则求极限，得：lim
ax³/(x-arcsinx)=lim3ax²/[1-
1/√(1-x²)]整理，得：lim
[3ax²
×√(1-x²)]/[√(1-x²)
-1]
分子分母同时×[√(1-x²)
+1]再同时÷x²
，得：lim
ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=-6a=6∴a=-1