Question

y=f(x)在（0，正无穷）上有意义，且单调递增，满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)

（1）证f(x^2)=2f(x)
（2）求f(1)
（3）f(x)+f(x+3)小于等于2，求x取值范围

Answer 1

(1)f(xy)=f(x)+f(y)
∴令x=y
则f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
(2)由(1)已证，得f(1^2)=2f(1)，即f(1)=2f(1)
∴f(1)=0
(3)f(2)=1
∴f(4)=f(2^2)=2f(2)=2
f(x)+f(x+3)=f[x(x+3)]=f(x^2+3x)≤2=f(4)
又∵y=f(x)在（0，正无穷）上有意义，且单调递增
∴0≤x^2+3x≤4
由0≤x^2+3x得x≥0或x≤-3
由x^2+3x≤4得-4≤x≤1
∴0≤x≤1或-4≤x≤-3