Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2...

已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx-1，…（2分）
依题意f'（1）=f'（2）=0，即3a+2b-1=012a+4b-1=0解得a=-16，b=34…（4分）
∴f(x)=-16x3+34x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，
即16x3-34x2-2x-m=0在[-2，0]上有两个不同的实数解 …（6分）
设φ（x）=16x3-34x2-2x-m，则φ′（x）=12x2-32x-2，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
当x∈（-2，-1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上递增；
当x∈（-1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上递减．…（10分）
依题意有φ(-2)≤0φ(-1)＞0φ(0)≤0⇔m≥-13m＜1312m≥0⇔0≤m≤1312
∴实数m的取值范围是0≤m＜1312．…（13分）