Question

已知数列{a n }满足a 1 =a（a＞2），a n+1 = 2+ a n ，n∈N * ．（1）求证：a n+1 ＜a

已知数列{a n }满足a 1 =a（a＞2），a n+1 = 2+ a n ，n∈N * ． （1）求证：a n+1 ＜a n ； （2）若a= 3 2 2 ，且数列{b n }满足a n =b n + 1 b n ，b n ＞1，求证：数列{lgb n }是等比数列，并求数列{a n }的通项式； （3）若a=2011，求证：当n≥12时，2＜a n ＜2+ 1 2011 恒成立．（参考数据2 10 =1024）

Answer 1

（1）
a
n+1
-
a
n
=
2+
a
n
-
2+
a
n-1
=
a
n
-
a
n-1
2+
a
n
+
2+
a
n-1
（n≥2），
上式表明a
n+1
-a
n
与a
n
-a
n-1
同号，
∴a
n+1
-a
n
，a
n
-a
n-1
，a
n-1
-a
n-2
，…，a
2
-a
1
同号，
∵a＞2，
∴a
2
-a-2=（a-2）（a+1）＞0，
∴a
2
＞a+2，
∴
a
2
=
a+2
＜a
，a
2
-a
1
＜0．
∴a
n+1
-a
n
＜0，
故a
n+1
＜a
n
．
（2）∵
a
n+1
=
b
n+1
+
1
b
n+1
=
2+
a
n
=
2+
b
n
+
1
b
n
，
b
n+1
2
+
1
b
n+1

2
=
b
n
+
1
b
n
，
b
n+1
4
-(
b
n
+
1
b
n
)
b
n+1

2
+1=0
，
注意到b
n
＞1，
f(x)=x+
1
x
（x＞0），
f
′
(x)=1-
1
x
2
＞0
，
∴f（x）在x＞1时为增函数，而f（
b
n+1
2
）=f（b
n
），
∴
b
n+1
2
=
b
n
，
∴2lgb
n+1
=lgb
n
，
∴
lg
b
n+1
lg
b
n
=
1
2
，
∴数列{lgb
n
}是等比数列，
当
a
1
=
b
1
+
1
b
1
=
3
2
2
，
b
1
=
2
，
lg
b
1
=lg
2
，
lg
b
n
=
(
1
2
)
n-1
?lg
2
=
(
1
2
)
n
?lg2
，
∴
b
n
=
2
(
1
2
)
n
，
a
n
=
b
n
+
1
b
n
=
2
(
1
2
)
n
+
2
-
(
1
2
)
n
．
（3）∵当n≥2时，
a
n
-2=
2+
a
n-1
-2
=
a
n-1
-2