Question

高中数学竞赛题

构造一个n行n列的矩阵，使其各元素均为整数，且它的n个行和与n个列和是2n个不同的完全平方数。
原题是要求构造n＝2、3、4时的三个矩阵
行和就是一行中所有元素的和
同样，列和就是一列中所有元素的和

Answer 1

想法是利用这个引理：
对于任意k是正整数，存在a1,a2,...,ak满足：a1^2+a2^2+...+ak^2是完全平方数
第一个公式很显然，证明一下第二个公式：
用归纳法：
k=2,取勾股数组3,4有3^2+4^2=5^2
设对k成立，考虑k+1
设x1,x2,...,xk满足x1^2+x2^2+..+xk^2=b^2
那么有：(3x1)^2+3(3x2)^2+...+(3xk)^2+(4b)^2=(5b)^2
归纳假设成立，于是欲证结论成立

下面给出构造，设a1,a2,...,an满足他们的平方和是一个完全平方数（设为A^2）
b1,b2,.....bn也满足他们的平方和是一个完全平方数(设为B^2)，且a1<a2<...<an<b1<b2<...<bn
(实际上，取出一组a1,a2,...,an后再取一组b1,...bn使bk=ak*T就可以了，这里T十一充分大正整数)
第一行为a1^2*b1^2,a1^2*b2^2,......a1^2*bn^2
第二行为a2^2*b1^2,a2^2*b2^2.......a2^2*bn^2
...
第n行为an^2*b1^2,an^2*b2^2,........an^2*bn^2
于是显然，第m行行和为(am*B)^2
第i列和为(A*bi)^2

这个构造比较虚，对于较小的n,只要利用归纳法的构造法取出和要求的a1,a2,...,an即可

Answer 2

“它的n个行和与n个列和”是什么意思？
意思没有表达完整吧？