Question

不定积分 1/{x + (a^2-x^2)的开平方}

Answer 1

dx
∫--------
x+√a^2-x^2
令x=asint
dx=acost dt
acost dt
原式=∫---------
asint+acost
（分子分母同乘以cost-sint）
(cost)^2-sint*cost
∫---------------------dt
cos2t
1+cos2t+sin2t
=1/2∫------------ ---dt
cos2t

=1/2∫(1+sec2t + tan2t )dt
=1/2*t+1/4ln(sec2t +tan2t )+1/4ln(cos2t)]+c
=1/2*t+1/4ln(1+sin2t)+c
=1/2*t+1/2ln(cost+sint)+c
把t=arcsin(x/a) 代入
原式=1/2arcsin(x/a)+1/2ln(x+√a^2-x^2)+c