Question

什么是一阶微分方程

怎么理解一阶线性微分方程?希望能详细解释每一个定义.比如 一阶 是什么定义特别希望能解释一下线性 的定义还有一届线性微分方程中 除了齐次方程 非齐次方程 和伯努利方程之外还有什么方程?

Answer 1

首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,就叫做这个微分方程的阶.如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了.一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程.数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算.而在微分方程中,自变量对未知函数y而言相当于常数,微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数.而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式.最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x),q(x)可以是自变量的任意函数.q(x)恒为零,则式子为一阶线性齐次方程,否则为一阶线性非齐次方程.因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类,一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程.至于伯努利方程,实际上是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程,因此你提问中的说法也是不对的,不是“一阶线性微分方程中,除了……和伯努利方程之外”,因为伯努利方程不在一阶线性方程中.
至于其他更详细的分类或者说其他形式的分类当然也有,如可分离变量的一阶线性微分方程等,不过一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了,过多分类已经没有什么必要,在此也就不一一枚举了.