Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n属于N+有an+Sn=n, 设Cn=n(1-bn)求数列{Cn}的前n项和Tn

(1)设bn=an-1,求证：{bn}是等比数列
（2）设Cn=n(1-bn)求数列{Cn}的前n项和Tn。

Answer 1

(1)an+Sn=n
a(n+1)+S(n+1)=n+1两式相减2a(n+1)-an=1，即2(a(n+1)-1)=an-1,2b(n+1)=bn
而a1+a1=1,a1=1/2,b1=-1/2,{bn}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列
(2)bn=-1/2^n,Cn=n(1-bn)=n+n/2^n
而n/2^n=(n+1)/2^(n-1)-(n+2)/2^n利用错位相减得
Tn=n(n+1)/2+2-(n+2)/2^n

Answer 2

（1）an+sn=n
an-1+sn-i=n-1
故2an-an-1=1
an-1=1/2(an-1-1）即bn=1/2bn-1
故bn为等比
（2）cn=n+n/2^n=n+(n+1)/2^(n-1)-(n+2)/2^n
故Tn=1+2+3+....+n+2/2^0-3/2^1+3/2^1-4/2^2+......+(n+1)/2^(n-1)-(n+2)/2^n
=n(n+1)/2+2-(n+2)/2^n

Answer 3

Sn=n-an ,S(n-1)=n-1-a(n-1)
an=Sn-S(n-1)所以2an-a(n-1)=1 可写成：2（an-1）=a(n-1)-1 所以bn 为等比数列 。bn=-（1/2^n） 所以 Cn=n+n*（1/2^n） 求Tn 分为两部分：先求1+2+3+4+……+n 再求1*（1/2）+2*（1/4）+3*（1/8）+……+n*（1/2^n） 用错位相减法 ：设Gn=1*（1/2）+2*（1/4）+3*（1/8）+……+n*（1/2^n），两边同乘1/2 有1/2Gn=1*1/4+2*1/8+3*1/16+……+（n-1）*（1/2^n）+n*(1/2^(n+1)) 相减得。1/2Gn=1/2+1/4+……+1/2^n-n*(1/2^(n+1)) 用等比。。所以Tn=2-(2+n)*1/(2^n)+((n+1))/2

Answer 4

2