Question

设函数f（x）=x^3+a*x^2-a^2*x+m,(a>0),若对任意的a属于［3，6］，不等式f（x）<=1在X属于［-2，2］

上恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

先对f（x）=x^3+a*x^2-a^2*x+m求导并令其为0，这样f‘（x）=3x^2+2ax-a^2=0，解得两个解x1=a/3，x2=-a，由于a大于0，这样可以知道函数f（x）在（-a，a/3）上是减函数，（a，+∞）上是增函数，这时只需要f（x）在［-2，2］上的最大值小不大于1即可。f（x）的最大值要么是f（-2）=-8+4a+2a^2+m,要么是f（2）=8+4a-2a^2+m，比较两者大小（相减比较大小），由于a属于［3，6］，这样f（-2）>f（2），只需要f（-2）=-8+4a+2a^2+m在a属于［3，6］时恒不大于1即可，-8+4a+2a^2+m<=1，m<=-2a^2-4a+9=-2(a+1)^2+11,-2(a+1)^2+11在[3,6]上的最小值为-87，则m<=-87。

Answer 2

解：
f‘（x）=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)，因为-a＜-3，a/3∈[1,2]，
所以 x∈[-2,a/3]， f’（x）＜0,x∈[a/3,2]时，f'(x)＞0，
所以f（x）在区间［-2，2］上的最大值为f（-2）或者f（2），
只需满足f（-2）≤1即2a^2+4a+m-9≤0在区间［3，6］上恒成立
和f（2）≤1即2a^2-4a-m-7≥0在区间［3，6］上恒成立，即可得出实数m的取值范围。
最后得出m≤-87.

Answer 3

x^3+a*x^2-a^2*x+m<=1 即m<=1-x^3-a*x^2+a^2*x,令G(x)=m
G'(x)=-3*x^2-2*a*x^2+a^2 对任意的a属于[3，6]， 对于x属于[-2,2],G'(x)<0,
而m要小于G（x）的最小值，故m<G(2)=2*a^2-4*a-7,再讲G（2）看做H(a),
m<min{H(a)} a∈[3,6],则m<H(3) 最终求得m<18-12-7=-1

水平有限，如有错误，不吝赐教