Question

在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF

如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF.
（1.）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由.
（2.）当四边形AECF是正方形时，求DF的长.
第一小题我会了求第二题（有图）

Answer 1

（1）当BC=AB=1时，AECF是菱形。
证：因为AECF是菱形 EF与AC是其对角线
所以 AO=OC
∠AOB=∠COB=90
OB是公共边
所以 △AOB=△COB
所以 BC=AB
(2) 当四边形AECF是正方形时，由（1）知，此时AB=BC
因为 ∠ABC=60
所以 ∠ABO=CBO=30
因为 四边形AECF是正方形
所以 AO=OE 且 ∠AOB=90
所以 AO=OE=1/2AB=1/2(30角所对直角边等于斜边一半）
由勾股定理知BO=√3/2
所以 BE=BO-OE=(√3-1)/2

Answer 2

1，棱形要求4条边相等，所以bc=ab=1
2，应为四边形AECF是正方形 所以ac与bd垂直，ao=fo，∠adc=1/2∠acd=30°；
所以do=1/2*根号3
所以df=do-of=1/2*根号3-1/2

Answer 3

1）bc=ab=1 因为菱形4边相等
2）由于<aec=90 ae=ec 所以<aeb=bec=135度
ab=bc
<abc=60 所以abc为等边三角形
do=

Answer 4

（1）当BC=AB=1时，AECF是菱形。
证：∵AECF是菱形 EF与AC是其对角线
∴ AO=OC
∠AOB=∠COB=90°
OB是公共边
∴ △AOB≌△COB
∴ BC=AB
(2) 当四边形AECF是正方形时，由（1）知，此时AB=BC
∵ ∠ABC=60
∴ ∠ABO=CBO=30
∵ 四边形AECF是正方形
∴ AO=OE 且 ∠AOB=90
∴ AO=OE=1/2AB=1/2(30角所对直角边等于斜边一半）
由勾股定理知BO=√3/2
∴BE=BO-OE=(√3-1)/2

Answer 5

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