Question

f(x)在[0,1]上非负单调减少，0<a<b<1,证明∫（0到a）f(x)dx>=a/b∫(a到b)f(x)dx

Answer 1

证明:
在(0,a)取一点ξ1,使得∫（0到a）f(x)dx = f(ξ1) (a-0)-------定积分中值定理
同理,在(a,b)取一点ξ2,使得 ∫ (a到b) f(x)dx = f(ξ2) (b-a)
因为题设 f(x)在[0,1]上非负单调减少,
所以 f(ξ1) > f(ξ2)

a/b ∫(a到b) f(x)dx = a/b (b-a) f(ξ2)=a(1-a/b) f(ξ2)
而1-a/b<1.
即a(a-a/b) f(ξ2) < a f(ξ2)

∫（0到a）f(x)dx = f(ξ1) (a-0) =a f(ξ1) > a f(ξ2) >a(a-a/b) f(ξ2)=a/b∫(a到b)f(x)dx

Answer 2

由积分中值定理
∫（0到a）f(x)dx=f(t)(a-0）=af(t) （其中0<t<a)
a/b∫(a到b)f(x)dx<=a/(b-a)∫(a到b)f(x)dx=af(s) (其中a<s<b)
(因为a/b<=a/(b-a). 且f(x)是非负的。）
由于f是单减的，故f(t)>f(s)
Therefore
∫（0到a）f(x)dx=af(t)>af(s)=a/(b-a)*∫(a到b)f(x)dx )>=a/b∫(a到b)f(x)dx