Question

高二了，请教一个排列组合的概率的问题？

一共有A、B、C三种颜色的球，每个球3个，共9个， 随机放在9个格子中，请问一共有多少种排法（无顺序）。

另外，假设格子是一个3*3的正方形，上下左右都视为相连，任意三个相连的格子中最多有两个同色的球，又有多少种排法呢

最后任意三个相连的格子中有两个同色球的概率怎么求呢？

能否把公式写出来，不胜感激

Answer 1

以C(n,m)表示组合数：在n个盒子中随机选m个进行放球（无排列）

此题颜色共有3种，球数和格子数一样多，所以只需考虑前两种颜色的选择，第三种颜色会因为前两种颜色的确定而被迫确定。
(1)颜色A的选择数是C(9,3)，颜色B的选择数是C(6,3)，所以总排法：C(9,3)×C(6,3)=1680种
(2)由(1)，如果不分别是否“相连同色”，则一共有排法C(9,3)×C(6,3)
下面计算存在三个相连的格子中都是同色的情况：

一共有6种可以存在三个相连同色的格子组（横3+竖3），选择其中一组放入颜色甲（有C(6,1)种可能），之后再在其他6个格子中放入颜色乙（C(6,3)）。颜色甲的选择可能有3种（A,B,C），所以此种情况共有排序3×C(6,1)×C(6,3).
注意到重复计算了三横均同色与三列均同色的情况，所以减去此种情况2×6，于是
存在三个相连的格子中都是同色的情况一共有3×C(6,1)×C(6,3)-12种
所以任意三个相连的格子中最多有两个同色的球的情况有C(9,3)×C(6,3)-3×C(6,1)×C(6,3)+12=1332种
(3)只需计算没有任何两个相连同色的情况数即可。
对九宫格按照横向排序编号1-9，从格子的角度考虑：
Step1：1号格子有3种选择，假设选择为甲
Step2：2号、4号格子分别有两种选择，由轮换对称，共有两种选择： 2乙4乙，2乙4丙
Step3.1：若2乙4乙，则乙剩余一个，必须在6号、8号或9号
Step4.1.1 若乙最终位置为2、4、6，则8号不是丙而是甲，此时剩余一个甲必须在3号。故情况唯一。
Step4.1.2 若乙最终位置为2、4、8，则6号不是丙而是甲，此时剩余一个甲必须在7号。故情况唯一。
Step4.1.2 若乙最终位置为2、4、9，则为了使丙不是相连，丙的位置必须是3，5，7，故情况唯一。
Step3.2：若2乙4丙，则5号必须是甲，于是剩余一个甲只能选择3，7，9

Step4.2.1 若甲最终位置是1，3，5，则乙丙必须错开放置，共有两种情况
Step4.2.2 若甲最终位置是1，5，7，则乙丙必须错开放置，共有两种情况。
Step4.2.3 若甲最终位置是1，5，9，则乙丙只需错开放置，共有4种情况。
考虑到甲乙丙轮换情况共有6种，情况总数为：
6×(1+1+1+2+2+4)=66种
由(2)可得概率分母，故概率为：1-66/1332=211/222

Answer 2

25575688599