Question

高等数学求极限，为什么这样用等价无穷小不对呢？

如图

Answer 1

因为分子是x^2的同阶无穷小，你这样代换，误差也是在x^2级别的，当然就不对了

追问

怎么看误差是x²级别的啊

追答

记住的，各种泰勒公式带入就可以看出来，你至少得知道各种“余项”吧

追问

是对谁泰勒展开啊

追答

你想做的每个“等价”代换都有“余项”，你都要看看你做的每个代换产生的误差是多少啊
根号(cosx) 变成1，它的泰勒展开余项是多少你算过么？1+xarcsinx变成1+x^2，它的余项是多少？这些基本的你不算就直接代换，当然就很容易出错了

追问

xarcsinx泰勒展开到x²余项是o（x²），因为分母也是x²所以误差不能忽略。是这样吗

追答

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
xarcsinx的误差在x^4级别

追问

xarcsinx=x²+1/2*x^4/3+1*3/(2*4)*x^6/5+……对吧？然后余项是o（x²）

追答

这样说没毛病，不过o表示比x^2更高阶无穷小，这题说的是和x^2同阶的无穷小，不是这个等价代换，其他有同价无穷小的

追问

谢谢谢谢，麻烦你啦

Answer 2

等价无穷小代换因子才可以，加减一般不能代换。

追问

这里不是x乘arcsin嘛，应该不算加法吧

追答

当然是加减，整个分子是两项的差。

追问

假如没有根号下cosx，那可以替换嘛

追答

也不可以，因式根式里是1+xarcsinx

追问

只有根号下xarcsinx就可以了吧