Question

一道与平面向量和三角函数有关的题，谢绝复制（题目不同的）

已知a,b,c均为向量,向量a=（1+cos a,sin a),向量b=(1-cos b,sin b),向量c=(1,0),a∈（0，派），β∈(派，2派）a与c的夹为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=派/3，求sin{（α-β）/2}的值
小提示：答案是-2/1,求过程

Answer 1

考察这三个向量的几何意义
a,b都是以(1,0)为圆心,半径为1的圆;c的终点就是这两个向量所在圆的圆心
由题意可知,a与b的夹角就是θ1-θ2=派/3，
则a-c的夹角和b-c的夹角都是θ1-θ2=派/3.
即（cos a,sin a),和(-cos β,sin β)=(cos(π+β), sin(π+β))的夹角是派/3
用复数来表示这两个向量,z1=cos α +i·sin α , z2=cos(π-β)+i·sin(π-β)
则z1=z2·(cos(π/3)+i·sin(π/3))=cos(4π/3-β)+i·sin(4π/3-β)
即cos(4π/3-β)=cos α ,sin(4π/3-β)=sin α
即4π/3-β =α+2kπ;
（α-β）/2=2π/3-kπ;
sin{（α-β）/2}=-1/2

Answer 2

你题目中的β是不就是b啊？

因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinb<0,1+cosa>0,1-cosb>0
所以向量a在第一象限,向量b在第四象限
tanθ1=sina/(1+cosa)
=2sin(a/2)cos(a/2)÷{1+[cos(a/2)]^2-[sin(a/2)]^2}
=2sin(a/2)cos(a/2)÷{2[cos(a/2)]^2}
=sin(a/2)/cos(a/2)
=tan(a/2)
又因为tan(θ2)=-sinb/(1-cosb)
=-2sin(b/2)cos(b/2)÷{1-[cos(b/2)]^2+[sin(b/2)]^2}
=-2sin(b/2)cos(b/2)÷{2[sin(b/2)]^2}
=-cos(b/2)/sin(b/2)
=-cot(b/2)
又因为θ1-θ2=π/3,
所以tan(θ1-θ2)=tan（π/3）=√3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(a/2)-[-cot(b/2)]}/[1-tan(a/2)cot(b/2)]
=[sin(a/2)sin(b/2)+cos(b/2)cos(a/2)]/[sin(b/2)cos(a/2)-sin(a/2)cos(b/2)]
=cos[(a-b)/2]/sin[(b-a)/2]
=-cot[(a-b)/2]
所以cot[(a-b)/2]=-√3
cos[(a-b)/2]=-√3sin[(a-b)/2]
所以{cos[(a-b)/2]}^2+{sin[(a-b)/2]}^2=1
又因为a∈（0，π），b∈(π，2π）
所以(a-b)/2∈(-π,0),所以sin[(a-b)/2]<0
即sin[(a-b)/2]=-1/2

Answer 3

a=（1+cos α,sin α),向量b=(1-cosβ,sin β),向量c=(1,0),
a∈（0，派），β∈(派，2派）
IaI=√(2+2cosα)=2cos(α/2)
IbI=√(2-2cosβ)=2sin(β/2)
IcI=1
a*c=1+cosα+0=IaIIcIcosθ1 cos(α/2)=cosθ1
则sin(α/2)=sinθ1
b*c=1-cosβ+0=IbIIcIcosθ2 sin(β/2)=cosθ2
则 cos(β/2)=sinθ2
所以sin{（α-β）/2}=sin(α/2)cos(β/2)-sin(β/2)cos(α/2)
=sin(θ1)sin(θ2)-cos(θ2)cos(θ1)
=-cos(θ1-θ2)=-cos(π/3)=-1/2

Answer 4

向量b＝(1－cosβ，sinβ)，对吧??

解：
∵α∈(0，π)
∴α/2∈(0，π/2)
∴a＝(1＋cosα，sinα)＝2cosα/2(cosα/2，sinα/2)
∴θ1＝α/2

∵β∈(π，2π)
∴0＜β－π＜π
∴－π＜π－β＜0
∴－π/2＜(π－β)/2＜0
b＝(1＋cosβ，sinβ)＝2sinβ/2(sinβ/2，cosβ/2)
∴θ2＝(β－π)/2

∵θ1－θ2＝π/3
∴α/2－(β－π)/2＝π/3
∴(α－β)/2＝π/3－π/2＝－π/6
∴sin[(α－β)/2]＝sin(－π/6)＝－1/2