Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时AP的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，

∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$．解得$BQ=\frac{25}{4}$；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q$（{\frac{25}{4}，3}）$或Q（4，3）．（4分）

（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$，
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则$EF=\frac{3}{2}$，$PH=\frac{3}{2}$，∴EF=PH．
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）

（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，

∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$，
∴$FA=\frac{15}{4}$．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴$AC=\frac{5}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{1}{4}$；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，

∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG=2PQ．
∴FC=2AF．
∴$AC=\frac{45}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{9}{4}$．（12分）

Answer 2

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$．解得$BQ=\frac{25}{4}$；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q$（{\frac{25}{4}，3}）$或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$，
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则$EF=\frac{3}{2}$，$PH=\frac{3}{2}$，∴EF=PH．
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$，
∴$FA=\frac{15}{4}$．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴$AC=\frac{5}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{1}{4}$；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG=2PQ．
∴FC=2AF．
∴$AC=\frac{45}{4}$．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{9}{4}$．（12分

Answer 3

第一问中，你就设移动了X秒，用勾股定理列方程解即可
第二问中，先做图，连接好AB后，用图像的对称以及函数知识解决
第三问中，设它存在，然后逆推法即可，否则不存在

追问

第三小题具体过程？

Answer 4

1（0，3）