Question

已知函数f（x）=2x+12x．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）分别指...

已知函数f（x）=2x+12x． （1）判断函数y=f（x）的奇偶性； （2）分别指出函数f（x）在区间（0，2）和（-2，0）上的单调性并证明； （3）分别指出函数f（x）在区间（2，4）和（-4，-2）上的单调性并证明； （4）由此你发现了什么结论？

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}；
f（-x）=-2x-12x=-f（x），∴该函数为奇函数；
（2）f′（x）=2-12x2=4(x2-14)2x2；
∴x∈（-2，-12）时，f′（x）＞0；x∈(-12，0)时，f′（x）＜0；x∈(0，12)时，f′（x）＜0；x∈(12，2)时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在(-12，0)，(0，12)上单调递减，在(-2，-12]，[12，2)上单调递增；
（3）由（2）知，x∈（2，4），x∈（-4，-2）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（2，4），（-4，-2）上单调递增；
（4）得出的结论是：奇函数在对称区间上的单调性一样．