Question

已知向量m=(sinx，1)，n=(3cosx，12)，函数f(x)=(m+n)...

已知向量m=(sinx，1)，n=(3cosx，12)，函数f(x)=(m+n)•m． （1）求函数f（x）的最小正周期T及单调增区间； （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，a=23，b=4且f（A）是函数f（x）在[0，π2]上的最大值，求△ABC的面积S．

Answer 1

解：（1）∵向量m=(sinx，1)，n=(3cosx，12)，
∴m+n=（sinx+3cosx，32），
∴f（x）=（m+n）•m=sin2x+3sinxcosx+32
=12（1-cos2x）+32sin2x+32=32sin2x-12cos2x+2=sin（2x-π6）+2，
∵ω=2，∴T=2π2=π；
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2（k∈Z），解得：kπ-π6≤x≤kπ+π3（k∈Z），
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-π6，kπ+π3]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-π6）+2，
∵A∈[0，π2]，∴2A-π6∈[-π6，5π6]，
∴-12≤sin（2A-π6）≤1，即32≤f（A）≤3，
∴当2A-π6=π2，即A=π3时，f（A）的最大值为3，
又a=23，c=4，cosA=12，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：12=b2+16-4b，即b2-4b+4=0，
整理得：（b-2）2=0，解得：b=2，
则S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23．